Problemas resueltos y comentados de lógica-álgebra proposicional

 PROBLEMAS RESUELTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL SEPARADOS POR NIVELES Y TIPOS - HYDRA´S NOTES

A continuación podrás encontrar una variedad de problemas del tema de lógica proposicional, cada problema de un tipo en específico que aporte un nuevo conocimiento esta comentado y explicado. 

Muchos de los problemas presentes son tipo UNI (Universidad Nacional de Ingeniería), ya sean de admisión o cepre, entre otros que he creado por mi mismo o que considero interesantes para empezar a practicar. Sin embargo, no encontrarán las alternativas como sucede en un examen común y corriente (esto esta explicado en el enlace de arriba).

En la primera parte estarán los enunciados de los problemas en forma escrita para quienes deseen copiarlos y resolverlos por su cuenta. Luego de eso podrán encontrar sus resoluciones, clasificación y mis comentarios.

Recomiendo haber estudiado la clase de lógica proposicional del blog antes de continuar.

PROBLEMAS DE LÓGICA PROPOSICIONAL:

1. Si "p → (q V r)" es falsa, determinar el valor de verdad de "(q Ʌ r) V p", "p → q" y "q → r" (UNI 2017-2)

2. Tenemos las siguientes proposiciones p, q, r. Indique la secuencia correcta luego de determinar si cada afirmación es verdadera o falsa (UNI 2013-1)

 a. Si "(p → q) → r" y "(p V q) → r" son verdaderas, entonces "r" es verdadera 

 b. "p → q" y "p ∧ ∼ q" son equivalentes

 c. Si "(p → q) → r" y "∼ r → q" son falsas, entonces "p" es verdadera

3. Sean las siguientes proposiciones

p: Tengo una moto

q: Tengo un celular

Simplifique la siguiente fórmula y exprésela en palabras:

(p Ʌ ~q) V ~[~p V (p Ʌ q)]

4. Si la siguiente fórmula lógica es falsa "[~(p → q) △ q] → [(p Ʌ ~q) → q]". Determine los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

 a. ~[~(p △ q)] → [p Ʌ (~p V q)]

 b. (q ↔ p) △ (p → q)

 c. [(~p V q) △ ~p] V (q Ʌ p)

5. Simplifique la siguiente fórmula lógica:

"[~(p Ʌ p) V q ] V {~[q V (q Ʌ p)] → [~p V (q Ʌ ~p)]}"

6. Simplifique la siguiente fórmula lógica (CEPRE-UNI):

"[p → ~(q → p)] △ p "

7. Se tiene un operador lógico "*" definido para las proposiciones "p (VVFF)" y "q (VFVF)" tal que: "p * q ≡ FFVV" (CEPRE-UNI).

Simplifique lo siguiente:

[(p Ʌ q) V q] * (q → p)

8. Para dos proposiciones "p" y "q" se define el operador "@" tal que:

"p @ q  ≡ (p Ʌ ~q) V (q V ~p))"

Simplifique:

"[~ (p @ q) Ʌ (q @ p)] △ [~(v)]"

9. Se tiene el siguiente operador definido de la siguiente forma para las proposiciones "a" y "b":

"a # b  ≡ a V ~b"

Identificar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

I. a # b ≡ b # a

II. a # (b # c) ≡ (a # b) # c

III. a # F ≡ a

IV. V # b ≡ b

10. Demuestre que la cantidad de estados de verdad esta dada por "2^ # proposiciones".

RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS:

Recomiendo abrir las imágenes en una nueva pestaña para verlas en mejor calidad y/o hacerles zoom.

Nota: El símbolo de "equivalente" es "≡", no el "igual" (=), en algunos ejercicios de equivalencias esta puesto el segundo, discúlpenme por el error.

1.VFV 

Este problema es el primero que vemos donde nos dan el valor final de una fórmula lógica y necesitamos asignar valores a las proposiciones que la conforman para que se cumpla lo indicado, para lograrlo, simplemente necesitamos razonar un poco y recordar las tablas de verdad de los conectores que aparecen. Pueden verlo el proceso de solución en la siguiente imagen.

2. VFF 

Este es interesante de resolver pues en una de las afirmaciones se utiliza un método no tan obvio.

3. Este es un problema que nos enseña a no depender únicamente de la memorización de las leyes del álgebra proposicional y a solo usarlas como apoyo.

4. Este problema no nos enseña nada nuevo, lo resolveremos para poner en práctica algunas tablas de verdad.

5. Aquí aplicaremos puro álgebra proposicional.

6. Se resuelve con álgebra proposicional como el ejercicio anterior

7. Este es el primer problema en el que nos dan un nuevo operador y su definición para dos proposiciones, veamos como podemos resolverlo.

8. Este es otro problema de operadores nuevos pero un poco mas largo a primera vista.

9. Respuesta: FFFF

10. Esta demostración esta hecha por mí en la teoría de este tema que pueden encontrar en este blog o en el enlace del comienzo.

Pueden ver la imagen en el siguiente enlace, sin embargo, recomiendo buscarla en la entrada de teoría para entenderlo mejor: Solución problema 10

TIPOS DE PROBLEMAS  DE LÓGICA ENCONTRADOS:

Al resolver los ejercicios anteriores, los podemos separar según su requisito principal a cumplir para resolverlos, por lo que nos enseña o por su modo de resolución:

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Nota:

Muchos de los problemas resueltos pueden encajar en varios tipos de problemas así que no se lo tomen tan literal.

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A. Hallar los valores de distintas proposiciones en base al valor final de una fórmula lógica

Ejemplos: Problema 1

En estos problemas tendremos el valor final de una fórmula lógica y nos piden hallar los valores de cada proposición que la conforma, tendremos que tener en cuenta las tablas de los conectores lógicos y  deducir los valores pedidos. Posteriormente, puede que nos pidan usarlos para resolver otras fórmulas mas.

B. Uso de álgebra proposicional y/o tablas de verdad - Simbolizar proposiciones

Ejemplos: 2 - 3 - 5 - 6

El llegar a su solución dependerá de que tantas propiedades del álgebra proposicional sepamos o en todo caso de que tanto tiempo estemos dispuestos a gastar en resolverlos mediante una tabla de verdad.

También existen casos en los que directamente no es posible usar el álgebra de proposiciones y solo nos queda proceder con la segunda alternativa.

Otros escenarios posibles son los de encontrar equivalencias o variaciones de las fórmulas que "sabemos" y que tendremos que identificar para ahorrar tiempo.

- En cuanto a la simbolización de proposiciones, pueden ser de 2 casos generales:

I. Nos dan un texto y tenemos que localizar las proposiciones para luego formalizarlas.

II. Nos dan las proposiciones y una fórmula a resolver y nos piden expresar el resultado en palabras.

Este tipo de problemas puede ser un poco tardado pero no muy difícil.

C. Hallar la verdad o falsedad de proposiciones

 Ejemplos: Cuarto problema

Por lo general, nos darán una "premisa" que tendremos que resolver y en base a lo hallado responderemos algunas preguntas o "proposiciones" que nos hagan.

Nota: Por "premisa" me refiero a algún "mini-ejercicio" que nos da algún valor.

D. Nuevos operadores lógicos

Ejemplos: Problema 7, 8 y 9

Aquí nos darán un nuevo símbolo al que llamaremos "operador lógico", nos darán su tabla de verdad y tendremos que encontrar los patrones que llevan a la fórmula lógica a tener un determinado valor final según sea el caso.

Para entender mejor esto de los "patrones", recomiendo ver el noveno problema.

E. Demostraciones

Ejemplo: Problema 10

Honestamente la probabilidad es casi nula de que nos encontremos con un ejercicio así a nivel preuniversitario pero decidí incluirlo porque hice esta demostración en la entrada con la teoría del tema y es sencilla de entender, la pueden encontrar al principio de esta página. Mas adelante pondré muchos de estos ejercicios pues son idóneos para lograr aprender a largo plazo y a saber de donde provienen las fórmulas que muchas veces simplemente memorizamos y luego olvidamos.

F. Problemas con resolución "singular"

Ejemplo: Primera parte del segundo problema

Son excepciones a la regla, tenemos que realizar alguna cosa "extraña" o "ver más allá de lo evidente" para resolverlos usando algo que no este incluido en la teoría de algún tema, por lo general se dice que estos problemas son de razonamiento en cierto sentido. 

El perfecto ejemplo de esto es el enunciado "a" del segundo problema, pese a usar las tablas de verdad teníamos que entender lo que nos decía la proposición para llegar a la conclusión de que solo teníamos que tener en cuenta los resultados verdaderos para decir si "r" era verdadera.

G. Otros tipos de problemas

Puesto que la lógica proposicional orientada al álgebra es solo una parte de lo que se ve en el curso de Filosofía, es normal encontrar algunos tipos de ejercicios de este último curso que no tienen mucho que ver con lo requerido para el álgebra.

De ejemplo podemos poner a los problemas de "deducciones" o "implicaciones notables", en los cuales nos dan un texto y algunas alternativas con conclusiones a elegir y tendremos que resolver en base a una teoría específica que no tiene mucho que ver con lo que vemos en álgebra.

Esta teoría se ve en uno de los últimos temas de filosofía y haré un resumen con explicación detallada cuando llegue el momento en el blog de humanidades.

COMENTARIO FINAL:

Esos han sido todos los problemas del día de hoy, si gustan algún día puede que saque una segunda parte con ejercicios propuestos por ustedes mediante el servidor de discord.

Honestamente he ido avanzando esta entrada en días diferentes por lo que me he ido olvidando de que trataba cada uno y la dificultad que en un primer momento pueda haber identificado, esto me llevo tener que excluir la calificación por dificultad de cada problema y a retrasar un poco la fecha de publicación que tenía planeada, tomaré mis precauciones para que no suceda en futuras resoluciones.

De cualquier forma, espero que sientan que han aprendido y que estas entradas los hayan ayudado, cualquier comentario, duda o corrección me lo pueden dejar en los comentarios y les responderé.

Muchas gracias.